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Was ist Wahrheit?

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Beitragvon SeglerUnterPalmen » 11.10.2017, 14:42

Quelle: Verkürzte Wiedergabe und eigenen Kommentaren versehen) http://www.faz.net/aktuell/wissen/physi ... 07-p4.html

 Die meisten Menschen - Kriminalbeamte, Journalisten, Wissenschaftler, Ingenieure – aber auch Eheleute – gehen selbstverständlich davon aus, daß es EINE Wahrheit gibt, die es nur herauszufinden gilt.
Dummerweise kann man sich dabei irren: Indizien können trügen, Informanten lügen, Informationen fehlen - was lässt sich da schon mit letzter Sicherheit beweisen?

Nun gibt es eine Wissenschaft, in der es unanfechtbare Beweise tatsächlich gibt.
 Ist in der Mathematik ein Satz bewiesen, dann ist daran grundsätzlich nichts mehr zu deuteln, dann ist der Satz wahr. Der Grund scheint klar: Mathematische Systeme wie die Arithmetik oder die Geometrie sind deduktiv. Eine ihrer Aussagen zu beweisen bedeutet, sie mittels der zulässigen Rechenregeln auf einige wenige, sofort einleuchtende Axiome zurückzuführen.
Damit scheint die Frage für die Mathematik und Informatiker beantwortet:

 Wahrheit ist Beweisbarkeit.

Doch im Jahre 1931 veröffentlichte der österreichische Logiker Kurt Gödel (Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Kurt_Gödel)  Prof. an der Princton University und enger Freund von Albert Einstein einen Aufsatz, in dem er zeigte, daß dies nicht stimmt. Er bewies, daß sich in einem widerspruchsfreien mathematischen System, das mindestens die Arithmetik umfaßt, Sätze formulieren lassen, die nicht aus den Axiomen ableitbar, aber trotzdem wahr sind. Diese Aussage ist der erste sogenannte „Unvollständigkeitssatz“.
Aus ihm folgt ein zweiter: Es ist nicht möglich, innerhalb einer mathematischen Theorie (eines geschlossenen Systems) zu beweisen, daß bei Ableitungen aus ihren Axiomen nie Widersprüche auftreten werden.
Und dies gilt nicht erst in irgendwelchen arkanen Formalismen, sondern schon im Fall der Arithmetik, der ganz normalen Schulmathematik - ganz zu schweigen von der IT-Technologie und deren Programmiersprachen.

Beispiel 1:
Gehen wir in einem Gedankenexperiment davon aus, dass es eine 100%-ig zuverlässig funktionierende Wahrheitsmaschine gäbe, die Wahr und Falsch unterscheiden könnte.
Es gibt nur eine Anzeige (Melde-Lampe) an dieser Maschine, die anzeigt, ob ein Satz wahr ist. (Im Falle von Falsch würde die Lampe dunkel bleiben)
1. Frage: „Ist 2+2= 4“ Lampe: EIN
2. Frage: „Ist 2+3= 4“ Lampe: AUS
3. Frage: „Ich kann NICHT sagen: 2+3= 4“ Lampe: EIN
4. Frage: „Ich kann nicht 2 mal sagen: 2+3= 4, Ich kann nicht 2 mal sagen: 2+3= 4“ Die Maschine versagt

Sie kann nicht AUS bleiben, weil 2 mal gefragt wurde, und sie kann nicht angehen denn sonst würde sie bestätigen , dass 2+3 nicht = 4 ist! ein Paradoxem

 Beispiel 2: Schon in der Antike kursierte die Anekdote von dem Kreter Epimenides, der behauptet, daß alle Kreter lügen. Offenbar ist es möglich, daß zwei an sich unschuldige Sätze (“Epimenides ist ein Kreter“ und „Epimenides sagt, alle Kreter lügen“) zusammengenommen ein Paradox ergeben: einen sich selbst widersprechenden Satz.

Als nun um 1900 klar wurde, daß dergleichen nicht nur in der ja nie ganz eindeutigen Alltagssprache auftreten kann, sondern auch in abstrakten Formalismen, war die Sorge groß. Immerhin bedienten sich Physik und Ingenieurswissenschaften in immer größerem Ausmaß mathematischer Verfahren. Was, wenn sich solche Paradoxa an entscheidenden Stellen in das mathematische Lehrgebäude einschlichen?

Gödels Resultat war - und ist noch heute - eine Ungeheuerlichkeit. – Die Infragestellung der Mathematik in sich.

Die Gödelsche Unvollständigkeit (siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz)  ist nichts Geheimnisvolles, sondern die Folge des Umstandes, daß in Systemen, die komplex genug sind, um sich selbst zu beschreiben, die Grenzen dieser Beschreibung spürbar werden. Natürlich könnte man die Grenze gewissermaßen eingemeinden, indem man einen unentscheidbaren, also weder beweisbaren noch widerlegbaren Satz kurzerhand dem Axiomensystem hinzufügt. Doch alles, was man sich damit - neben einer Verkomplizierung der Theorie - einhandelte, wären neue unentscheidbare Sätze. Die Grenzen, die Gödel aufzeigte, lassen sich zwar verschieben, aber nie beseitigen.

Kurz gesagt: Die Unvollständigkeitssätze von Gödel bedeuten in der Konsequenz dass, je komplexer ein System wird, um so wahrscheinlicher werden dessen immanente Widersprüche.
Was wir im alltäglichen Leben bestätigt finden: „unsinkbare“ Schiffe heißen u.a. Titanic, „sichere“ Flugzeuge fallen vom Himmel und spätestens seit Fukushima redet kaum mehr jemand von „sicherer“ Kerntechnik, ohne ein mitleidiges Lächeln der „Normalos“ zu ernten und Computerprogramme werden mit der Zeit immer mächtiger und dabei steigt überproportional deren Fehlerhäufigkeit
... Und überraschenderweise gilt das auch in gewisser Weise für alle Arten von Beziehungen.

Dass es hierfür aber ein Naturgesetz zu geben scheint, mag für viele überraschend sein.

Also wer das Risiko von Paradoxa, Widersprüchen und Lügen bzw Versagen in „sicheren“ oder sicherheitsrelevanten Systeme minimieren möchte, wer funktionierende Computerprogramme und Tools erstellen oder sie einführen möchte, dem hilft ein, von den größten Köpfen unseres modernen Zeitalters entdecktes, bewiesenes und bislang nicht widerlegtes mathematisches Axiom, an das man sich halten sollte:

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Lieben Gruß
SeglerUnterPalmen
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Beitragvon dick01 » 25.10.2017, 9:18

Ich war dieses Jahr in Kreta, daher weiß ich: Mit den Kretern muss man vorsichtig sein. Auch mit den paradoxen Aussagen (siehe die Russel‘schen Antinomien ).
Was ist Wahrheit? Ich meine aus dem Kontext zu ersehen, dass es mehr in Richtung der Semantik und Modelltheorie geht als hin zur Philosophie.
Nun, in der Logik und Mathematik kann man zumeist (s.u.) entscheiden, ob eine Aussage (im Rahmen des zugrunde liegenden Axiomensystems) wahr oder nicht wahr ist (sie sollte nicht beides sein). Aber ist das schon Wahrheit ? Ich bin der Ansicht, dass die Betrachtung von Axiomensystemen allein nicht notwendig weiterhilft. Zunächst muss man sich für die Fragestellung mit Alfred Tarski beschäftigen
https://de.wikipedia.org/wiki/Alfred_Tarski
https://de.wikipedia.org/wiki/Konvention_T
Benötigt wird eine Metasprache, die es ermöglicht, die Wahrheit einer Tatsache mit der Wahrheit einer Aussage zu verknüpfen. Dadurch stehen wir mit einem Bein schon wieder auf dem wackligen Boden der Wirklichkeit!
Der Wahrheitsbegriff ist nicht arithmetisch definierbar! Während sich die üblichen syntaktischen Begriffe, die zu einer formalen Sprache gebildet werden, in der Sprache der Zahlentheorie definieren lassen und ihre wesentlichen Eigenschaften zumindest in der Theorie PA beweisen lassen, ist dies für den semantischen Wahrheitsbegriff nicht möglich (Satz von Tarski).

Ein paar Worte zur Logik. Tatsächlich ist nicht alles unvollständig und voller Widersprüche. An dieser Stelle muss! man zunächst ein anderes Ergebnis von K. Gödel darstellen: Der Vollständigkeitssatz der Mathematischen Logik.
Aber genauer: Was ist „widerspruchsfrei“ eigentlich?
- Ein korrektes Axiomensystem ist widerspruchsfrei
- In einem widerspruchsvollen (d. h. nicht widerspruchsfreien) Axiomensystem ist alles beweisbar;
- Ein widerspruchsfreies Axiomensystem (mit modus ponens als Regel) enthalt keinen Widerspruch in dem Sinne, dass keine Formel und zugleich auch ihre Negation beweisbar ist).
Bei der „Vollständigkeit“ geht es um die Umkehrung der obigen Aussage, also die Frage, ob der Kalkül jeden allgemeingültigen Ausdruck formal ableiten kann, ob es also für jeden mathematischen Beweis eines Ausdrucks einer Sprache erster Stufe auch einen formalen Beweis gibt. Es ist die Frage, ob der Kalkül vollständig ist. Dies ist in der Tat der Fall für die Prädikatenlogik erster Stufe. Dies ist der Vollständigkeitssatz, der auf Gödel zurückgeht.
Prädikatenlogik erster Stufe (also auch implizit die Aussagenlogik) ist widerspruchsfrei, ebenso die Mengenlehre (ohne Unendlichkeitsaxiom) und die (Peano-)Arithmetik. Die klassische Zahlentheorie ist vollständig und auch weiteres. Wir müssen also nicht verzweifeln an der Mathematik.
Aber was lernen wir daraus? Wir müssen mit der Logik umgehen wie die Stachelschweine mit dem Sex: sehr, sehr vorsichtig.
Sich ein paar Ergebnisse in die Tasche stecken und von der Modelltheorie auf die Titanic springen führt zum Fall ins dazwischenliegende eisige Schmelzwasser! Die Entfernung ist (noch) zu groß. Wir können ja noch nicht einmal P=NP zeigen (bzw. die Verneinung). Vor ein paar Tagen ist der neueste Versuch wohl wieder mal gescheitert.


Der Gottesbeweis: Ich zeige mal ein Beispiel aus der Literatur, wie so etwas aussieht (Details zum Gödelschen Beweis führen wohl zu weit, da gibt es Bücher)
Der erste ontologische Beweis, der auch tatsächlich als solcher gewertet werden kann stammt von Anselm von Canterbury (1033 – 1109).
https://www.ub.uni-freiburg.de/fileadmi ... nselm8.htm


Die Struktur des Arguments lässt sich folgendermaßen ausdrücken:
1. Wenn der Tor den Begriff: „das, über dem Größeres nicht gedacht werden kann” hört, so versteht er ihn.
2. Wenn der Begriff ’X ’ von einer Person ’Y ’ verstanden wird, dann existiert ’X ’ im Verstand von ’Y ’.
3. Deswegen existiert der Begriff „das, über dem Größeres nicht gedacht werden kann” in dem Verstand des Tors.
4. (Prämisse) Ein Wesen über dem nichts größeres Gedacht werden kann existiert im Verstand.
5. (Annahme für die Reductio) Ein Wesen über dem nichts größeres gedacht werden kann existiert nicht in der Realität.
6. (Prämisse) Falls ein Wesen über dem nichts größeres gedacht werden kann im Verstand, aber nicht in der Realität existiert, so ist ein Wesen über dem nichts größeres gedacht werden kann, welches im Verstand und in der Realität existiert größer.
7. (Konklusion aus 4, 6)Ein Wesen über dem nichts größeres gedacht werden kann und welches im Verstand und in der Realität existiert ist größer als ein Wesen über dem nichts größeres gedacht werden kann.
8. (Prämisse) Kein Wesen ist größer als ein Wesen über dem nichts größeres gedacht werden kann.
9. (Konklusion durch Reductio mit 5,7,8) Ein Wesen über dem nichts größeres gedacht werden kann existiert in der Realität.
Selbstverständlich gibt es dazu Einwände, angefangen bei Thomas von Aquin. Aber das führt zu weit.
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dick01
 
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